希尔伯特基定理

【引理1】（Dickson定理）

对于 $\forall A \subset \mathbb{N}^{n}$ ， $\exists$ 有限非空集 $\subset A$ ，使得 $\left\langle x^{A} \right\rangle = \left\langle x^{B} \right\rangle$

【证明】

下面利用数学归纳法证明：

首先当 $n = 1$ 时成立

此时对于 $\forall A \subset \mathbb{N}$ ，取 $\left\{ \min(A) \right\}$ ，显然有 $\left\langle x^{A} \right\rangle = \left\langle x^{B} \right\rangle$ ，此时集 $B$ 有限且非空。

假定当 $\leq k$ 时集 $B^{(k)}$ 有限且非空，需要证明 $n = k + 1$ 时集 $B^{(k + 1)}$ 有限且非空

设 $A^{(k)}$ 中的元素形如 $\left( a_{1},a_{2}\ldots a_{k} \right)$ ， $A^{(k + 1)}$ 中的元素形如 $\left( a_{1},a_{2}\ldots a_{k},a_{k + 1} \right)$ 。设 $\left( {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k},{\overline{b}}_{k + 1} \right) \in A^{(k + 1)}$ ，其中 ${\overline{b}}_{k + 1} = \min\left( a_{k + 1} \right)$ 、 ${\overline{B}}^{(k)}$ 是 ${\overline{b}}_{k + 1} = \min\left( a_{k + 1} \right)$ 时的有限非空集，且有 $\left( {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k} \right) \in {\overline{B}}^{(k)}$ 。那么有 $\left( {\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k},{\overline{b}}_{k + 1} \right) \in B^{(k + 1)}$ ，也就是集 $\mathbf{B}^{\left( \mathbf{k + 1} \right)}$ 非空。

由于 $x^{B}$ 中所有元素两两之间无法互相整除（若整除，只保留一个元素），对于 $\forall\left( b_{1},b_{2}\ldots b_{k},b_{k + 1} \right) \in B^{(k + 1)}$ ，在 $b_{1},b_{2}\ldots b_{k}$ 中必有一些元素比 ${\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k}$ 的对应元素小，且 $b_{i} < {\overline{b}}_{i}$ 的元素对总数目一定是小于 $k$ ；而 $b_{1},b_{2}\ldots b_{k},b_{k + 1}$ 中剩余的满足 $b_{j} \geq {\overline{b}}_{j}$ 的所有 $b_{j}$ 必然可由这些 $b_{i}$ 来确定。这是因为当 $\leq k$ 时集 $B^{(k - *)}$ 有限且非空，剔除 $b_{i}$ 元素后， $b_{j}$ 必然是 $B^{(k - *)}$ 中的对应元素。由于 ${\overline{b}}_{1},{\overline{b}}_{2}\ldots{\overline{b}}_{k}$ 是固定的，而 $b_{i} < {\overline{b}}_{i}$ ，所以 $b_{i}$ 的取值情况是有限的，也就是集 $\mathbf{B}^{\left( \mathbf{k + 1} \right)}$ 有限。

【引理2】

设 $F$ 为一域， $I$ 是 $F\left\lbrack x_{1},x_{2}\ldots x_{n} \right\rbrack$ 中的理想，若 $\subset I$ 是有限集，且 $\left\langle lt(G) \right\rangle = \left\langle lt(I) \right\rangle$ ，则 $\left\langle G \right\rangle = I$ 。

【证明】

因为 $\subset I$ ，显然 $\left\langle G \right\rangle \subset I$ 。

设 $\{ g_{1},g_{2}\ldots g_{t}\}$ ，则 $\forall f \in I$ ，根据带余除法得

$q_{1}g_{1} + \ldots + q_{t}g_{t} + r$

那么有 $\in \left\langle lt(I) \right\rangle \Rightarrow lt(r) \in \left\langle lt(G) \right\rangle$ ，由于 $r$ 是带余除法余数，即满足项序关系 $lt\left( g_{1} \right)、lt(r) < lt\left( g_{2} \right)\ldots lt(r) < lt(g_{t})$ ，所以 $\equiv 0$ ，从而 $\in I \Rightarrow f \in \left\langle G \right\rangle$ ，所以 $\subset \left\langle G \right\rangle$ 。

综上可得 $\left\langle G \right\rangle = I$ 。

【Hilbert 基定理】

设 $F$ 为一域， $I$ 是 $F\left\lbrack x_{1},x_{2}\ldots x_{n} \right\rbrack$ 中的理想， $I$ 可有限生成。

【证明】

根据 【引理1】 因为单项理想 $\left\langle lt(I) \right\rangle$ 可以有限生成，令 $\subset I$ 是有限集，满足 $\left\langle lt(G) \right\rangle = \left\langle lt(I) \right\rangle$ 。根据 【引理2】 有 $\left\langle G \right\rangle = I$ ,也就是 $I$ 可有限生成。